BAB I
A. Bilangan Bulat
1. Menggunakan Sifat-Sifat Pengerjaan Hitung
1. Sifat Komutatif
Seperti yang telah kamu ketahui, sifat komutatif disebut juga sifat pertukaran. Untuk lebih jelasnya, perhatikan penjumlahan berikut.
2 + 4 = 6
4 + 2 = 6
Jadi, 2 + 4 = 4 + 2.
Sifat seperti ini dinamakan sifat komutatif pada penjumlahan.
Sekarang, coba perhatikan perkalian berikut.
2 × 4 = 8
4 × 2 = 8
Jadi, 2 × 4 = 4 × 2.
Sifat seperti ini dinamakan sifat komutatif pada perkalian.
Apakah sifat komutatif berlaku pada pengurangan dan pembagian?
Perhatikan contoh berikut.
a. 2 – 4 = –2 dan 4 – 2 = 2
Jadi, 2 – 4 tidak sama dengan 4 – 2, atau 2 – 4 ≠ 4 – 2.
b. 2 : 4 = 0,5 dan 4 : 2 = 2
Diperoleh bahwa 2 : 4 tidak sama dengan 4 : 2, atau 2 : 4 ≠ 4 : 2
Jadi, pada pengurangan dan pembagian tidak berlaku sifat komutatif.
2. Sifat Asosiatif
Pada penjumlahan dan perkalian tiga bilangan bulat berlaku sifat asosiatif
atau disebut juga sifat pengelompokan. Perhatikanlah contoh penjumlahan tiga
bilangan berikut.
(2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9
2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9
Jadi, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4).
Sifat seperti ini dinamakan sifat asosiatif pada penjumlahan.
Sekarang, coba perhatikan contoh perkalian berikut.
(2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24
2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24
Jadi, (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4).
Sifat ini disebut sifat asosiatif pada perkalian.
3. Sifat Distributif
Selain sifat komutatif dan sifat asosiatif, terdapat pula sifat distributif.
Sifat distributif disebut juga sifat penyebaran. Untuk lebih memahaminya,
perhatikanlah contoh berikut.
Contoh 1
Apakah 3 × (4 + 5) = (3 × 4) + (3 × 5)?
Jawab:
3 × (4 + 5) = 3 × 9 = 27
(3 × 4) + (3 × 5) = 12 + 15 = 27
Jadi, 3 × (4 + 5) = (3 × 4) + (3 × 5).
Dari beberapa coontoh diatas dapat kita tarik simpulan :
Sifat-sifat pengerjaan hitung bilangan.
a. Pada penjumlahan berlaku:
1) Sifat pertukaran (komutatif) a + b = b + a
2) Sifat pengelompokan (asosiatif) (a + b) + c = a + (b + c)
b. Pada perkalian berlaku:
1) Sifat pertukaran (komutatif) a × b = b × a
2) Sifat pengelompokan (asosiatif) (a × b) × c = a × (b × c)
3) Sifat penyebaran (distributif)
a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
a × (b – c) = (a × b) – (a × c)
4. Menggunakan Sifat-Sifat Operasi Hitung
Sifat distributif dapat kamu gunakan pada perkalian dua bilangan. Pada perkalian tersebut, salah satu bilangannya merupakan bilangan yang cukup besar.Agar kamu lebih memahaminya, coba pelajari contoh-contoh berikut.
Contoh 1
a. 8 × 123 = ...
b. 6 × 98 = ...
Jawab:
a. 8 × 123 = 8 × (100 + 20 + 3)
= (8 × 100) + (8 × 20) + (8 × 3)
= 800 + 160 + 24 = 984
Jadi, 8 × 123 = 984.
2. Urutan pengerjaan hitung campuran sebagai berikut.
a. Pengerjaan dalam kurung.
b. Perkalian dan pembagian dikerjakan urut dari kiri.
c. Penjumlahan dan pengurangan dikerjakan urut dari kiri.
1. Menentukan FPB dan KPK
Langkah-langkah pengerjaan FPB.
1. Menentukan faktorisasi prima dari bilangan-bilangan itu.
2. Mengambil faktor yang sama dari bilangan-bilangan itu.
3. Jika faktor yang sama pangkatnya berbeda, ambillah faktor yang pangkatnya terkecil
Contoh :
Tentukan FPB dari 15, 25, dan 60.
Jawab:
Faktorisasi prima dari 15 adalah 15 = 3 × 5.
Faktorisasi prima dari 25 adalah 25 = 5 × 5.
Faktorisasi prima dari 60 adalah 60 = 2 × 2 ×3 × 5 = 22 × 3 × 5.
Jadi, FPB dari 15, 25, dan 60 adalah 5.
Langkah-langkah menentukan KPK.
1. Tentukan faktorisasi prima dari bilangan-bilangan tersebut.
2. Ambil semua faktor yang sama atau tidak sama dari bilangan-bilangan tersebut.
3. Jika faktor yang sama memiliki pangkat berbeda, ambillah faktor yang pangkatnya terbesar.
Contoh
Tentukanlah KPK dari 8, 16, dan 40.
Jawab:
Faktorisasi prima dari 8 = 2 × 2 × 2 = 23.
Faktorisasi prima dari 16 = 2 × 2 × 2 × 2 = 24.
Faktorisasi prima dari 40 = 2 × 2 × 2 × 5 = 23 × 5.
KPK dari 8, 16, dan 40 adalah 24 × 5 = 16 × 5 = 80.
Jadi, KPK dari 8, 16, dan 40 adalah 80.
C. Perpangkatan dan Penarikan Akar Pangkat Tiga
1. Perpangkatan Tiga
Di Kelas V, kamu telah mengenal bilangan berpangkat dua. Jika suatu bilangan
dikalikan dengan dirinya sendiri,dikatakan bahwa bilangan tersebut dikuadratkan.
Misalnya, 5 × 5 = 25, dapat ditulis 52 = 25. Artinya, kuadrat dari 5 adalah 25. Adapun 25 disebut bilangan kuadrat.
Dengan cara yang sama, kamu dapat memahami perpangkatan tiga dari suatu bilangan. Misalnya, 5 × 5 × 5 = 125, dapat ditulis 53 =125.
Satuan Volume dan
Debit
A. Satuan Volume
1. Hubungan Antar Satuan Volume
Sebelum mempelajari debit, terlebih dahulu kamu akan mempelajari hubungan antar satuan volume. Ingatlah kembali cara menentukan volume kubus dan balok.
Perhatikan kubus-kubus berikut.
Volume kubus dengan panjang rusuk 1 cm adalah
V = 1 cm × 1 cm × 1 cm = (1 × 1 × 1) cm3 = 1 cm3.
Volume kubus dengan panjang rusuk 10 mm adalah
V = 10 mm × 10 mm × 10 mm = (10 × 10 × 10) mm3 = 1.000 mm3.
Jadi, 1 cm3 = 1.000 mm3 karena 1 cm = 10 mm dengan demikian kita dapat mengetahui bahwa 1 dm3 = 1.000 cm3 karena 1 dm = 10 cm
Perhatikan gambar hubungan antar satuan kubik berikut
Setiap naik satu tangga,
satuan besaran dibagi 1.000
1 km3 = 1.000 hm3 (turun 1 tangga) ; 1 m3 = 1.000.000 cm3 (turun 2 tangga)
1 m3 = (naik 1 tangga) ; 1 m3 = 1 (naik 2 tangga)
Contoh
a. 2 m3 = ... dm3 ; b. 6.000 cm3 = ... dm3
Jawab:
a. 2 m3 = (2 × 1) m3 = (2 × 1.000) dm3 = 2.000 dm3
b. 6.000 cm3 = (6.000 × 1) cm3 = (6.000 : 1.000) dm3= 6 dm3
2. Satuan Liter dan Mililiter
Dalam kehidupan sehari-hari satuan volume yang sering digunakan adalah
liter (l) dan mililiter (ml). Misalnya, volume minuman ringan ini adalah 1 liter.
Contoh
Bak mandi di rumah Bu Marta panjangnya 1,5 m, lebar 1 m, dan tinggi 1 m.
Jika bak mandi tersebut terisi penuh air, berapa liter volume airnya?
Jawab:
Kita cari dahulu volume bak mandi tersebut.
Volume = panjang × lebar × tinggi
= 1,5 m × 1 m × 1 m
= 1,5 m3
Kemudian, kita hitung volume airnya.
1,5 m3= (1,5 × 1) m3
= (1,5 × 1.000) d m3
= 1.500 d m3
= 1.500 l
B. Satuan Debit
1. Arti Satuan Debit
Ira akan mengisi sebuah ember dengan air dari keran. Dalam waktu 1 menit,
ember tersebut terisi 6 liter air. Artinya, debit air yang mengalir dari keran itu
adalah 6 liter/menit, ditulis 6 l/menit.
Satuan debit biasanya digunakan untuk menentukan volume air yang mengalir
dalam suatu satuan waktu.
Contoh:
1. Sebuah kolam diisi air dengan menggunakan pipa yang debitnya 1 l/detik.
Artinya, dalam waktu 1 detik volume air yang mengalir dari pipa tersebut
adalah 1 liter.
2. Debit air yang mengalir pada pintu air Manggarai adalah 500 m3/detik. Artinya,
dalam waktu 1 detik volume air yang mengalir melalui pintu air Manggarai
adalah 500 m3.
2. Hubungan Antar Satuan Debit
Kamu telah mengetahui bahwa 1 l = 1 dm3 = m3. Oleh karena itu,1 l/detik = m3/detik
cara mengubah satuan debit m3/detik menjadil/detik yaitu dengan mengalikan kedua ruas pada persamaan tersebut dengan 1.000.
1 l/detik × 1.000 = m3/detik × 1.000
1.000 l/detik = m3/detik
1.000 l/detik = 1 m3/detik atau 1 m3/detik = 1.000 l/detik
Contoh 1
a. 4 m3/detik = ... l/detik
b. 6.000 l/detik = ... m3/detik
Jawab:
a. 4 m3/detik = (4 × 1) m3/detik = (4 × 1.000) l/detik = 4.000 l/detik
b. 6.000 l/detik = (6.000 × 1) l/detik = (6.000 : 1.000) m3/detik = 6 m3/detik
Contoh 2
6 l/menit = ... l/detik
Jawab:
6 l/menit = = = =0,1 liter/ detik
Jadi, 6 l/menit = 0,1 l/detik.
3. Menyelesaikan Soal Cerita
Sebuah bak mandi berbentuk kotak memiliki ukuran panjang 120 cm, lebar 50
cm, dan tinggi 80 cm. Bak mandi tersebut diisi dengan air dari sebuah keran. Jika
setelah 20 menit bak mandi tersebut penuh, berapa l/detik debit air yang mengalir
dari keran tersebut?
Jawab:
Diketahui:
Bak mandi berbentuk kotak dengan panjang p = 120 cm, lebar = 50 cm, dan
tinggi t = 80 cm.
Bak mandi terisi penuh air setelah 20 menit.
Ditanyakan: Berapa debit air yang mengalir dari keran?
Penyelesaian:
Agar lebih mudah, kita ubah terlebih dahulu satuan cm ke dm.
p = 120 cm = 12 dm,
= 50 cm = 5 dm,
t = 80 cm = 8 dm.
Volume bak mandi = p × l × t
= 12 dm × 5 dm × 8 dm
= (12 × 5 × 8) dm3
= 480 dm3
= 480 l.
Debit air = Volume yang diperoleh
Waktu yang diperlukan
=
= 24 l/menit
=
=
= /detik = 0,4 l/detik
Jadi, debit air yang mengalir dari keran adalah 0,4 l/detik.
Bangun Datar dan
Bangun Ruang
A. Luas Bangun Datar
Jawab:
a. Luas persegi ABCD = s × s
= 5 cm × 5 cm
= 25 cm2
Jadi, luas persegi ABCD adalah 25 cm2.
b. Luas persegipanjang EFGH = p ×l
= 10 cm × 5 cm
= 50 cm2
Jadi, luas persegipanjang EFGH adalah 50 cm2.
c. Luas segitiga KLM = × (a × t)
= × (12 cm × 6 cm)
= × 72 cm2
= 36 cm2
Jadi, luas segitiga KLM adalah 36 cm2.
Hitunglah luas jajargenjang dan trapesium berikut.
Jawab:
a. Luas jajargenjang ABCD = a × t
= 8 cm × 7 cm
= 56 cm
Jadi, luas jajargenjang ABCD adalah 56 cm2.
b. Luas trapesium EFGH = × (a + b) × t
= × (16 cm + 6 cm) × 7 cm
= × (22 cm) × 7 cm
= × 154 cm = 77 cm2
Jadi, luas trapesium EFGH adalah 77 cm2.
2. Menghitung Luas Segi Banyak
Langkah-langkah untuk menghitung luas segi banyak adalah sebagai berikut.
1. Tentukan bangun datar apa saja yang membentuknya.
2. Tentukan luas dari setiap bangun datar yang membentuknya.
3. Jumlahkan luas dari keseluruhan bangun datar yang membentuknya.
Contoh : Tentukan luas segi banyak dibawah ini !
Berdasarkan langkah-langkah tersebut, maka
• Luas bangun (a) = luas persegipanjang ABCG + luas persegi DEFG
= (10 cm × 4 cm) + (3 cm × 3 cm)
= 40 cm2 + 9 cm2
= 49 cm2
• Luas bangun (b) = luas persegipanjang PQST + luas segitiga QRS
= (12 cm × 8 cm) + ( × 8 cm × 3 cm)
= 96 cm2 + 12 cm2
= 108 cm2
Tentukan luas segi banyak diatas !
Jawab:
Luas ABCD = 15 cm × 9 cm
= 135 cm2
Luas ECGF = × (20 cm + 16 cm) × 10 cm
= × (36 cm) × 10 cm
= × 360 cm2
= 180 cm2
Luas ABCGFED = luas ABCD + luas ECGF
= 135 cm2 + 180 cm2
= 315 cm2
Jadi, luas ABCGFED atau luas keseluruhan bangun datar tersebut adalah 315 cm2.
3. Menghitung Luas Lingkaran
Pada bagian ini, akan dibahas mengenai bagaimana cara menghitung luas daerah yang dibatasi oleh lingkaran. Yang dimaksud dengan lingkaran di sini adalah garis lengkung yang titik-titiknya berjarak tetap terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu ini dinamakan titik pusat lingkaran. Namun sebelumnya, akan diperkenalkan tentang jari-jari dan diameter lingkaran serta bagaimana menghitung keliling lingkaran.
a. Jari-jari dan Diameter Lingkaran
Perhatikanlah gambar lingkaran dengan titik pusat O berikut.
C
A O B
Diameter lingkaran sama dengan dua kali jari-jari. Dengan demikian d = 2 × r
Contoh
Sebuah lingkaran memiliki jari-jari 6 cm. Berapa cm panjang diameternya?
Jawab:
r = 6 cm
Panjang diameter lingkaran adalah
d = 2 × r = 2 × 6 cm = 12 cm
Jadi, panjang diameter lingkaran tersebut adalah 12 cm.
b. Keliling Lingkaran
Sebuah taman berbentuk lingkaran memiliki diameter 5 meter. Ali berlari mengelilingi taman itu satu kali putaran. Berapa meter jarak yang telah ditempuh Ali?Jarak yang ditempuh Ali sama dengan keliling taman yang berbentuk lingkaran tersebut. Dapatkah kamu mencari keliling lingkaran jika diketahui diameternya?Agar kamu dapat menjawabnya, lakukanlah kegiatan berikut
1. Bentuklah kelompok yang terdiri dari 4 sampai dengan 5 orang.
2. Sediakan benda-benda yang berbentuk lingkaran. Misalnya, uang logam, tutup gelas, dan kaleng susu yang alasnya berbentuk lingkaran.
3. Ukurlah garis tengah dari uang logam yang berbentuk lingkaran seperti gambar berikut. Kemudian, tulislah garis tengahnya (diameternya), d = ... cm.
4. Lingkarkan benang sepanjang keliling uang logam tersebut. Kemudian, bentangkan benang itu dan ukurlah panjangnya. Panjang benang tersebut sama dengan keliling lingkaran, K = ... cm.
5. Bagilah keliling lingkaran (K) dengan diameternya (d).
Keliling lingkara a n
Diameter lingkara a n
...
...
...
6. Ukurlah diameter dan keliling dari benda-benda berbentuk lainnya. Kemudian,
buatlah tabelnya seperti tabel berikut.
Dari kegiatan tersebut, kamu akan mendapatkan bahwa perbandingan keliling (K) dan diameter lingkaran (d) mendekati bilangan 3,14 atau Selanjutnya, bilangan ini dinamakan π , dibaca pi .
dengan demikian, diperoleh
K= x d = 3,14 x d atau K= x d = x d
Oleh karena panjang diameter sama dengan 2 kali panjang jari-jari, keliling lingkaran dapat juga dirumuskan sebagai berikut.
K = π × d = π × 2 × r = 3,14 × 2 × r atau K = × 2 × r
Contoh 1
Hitunglah keliling lingkaran berikut.
Jawab: d = 14 cm, maka K = π × d = x 14 cm = 44 cm
Jadi, keliling lingkaran dengan diameter 14 cm adalah 44 cm.
Hitunglah keliling lingkaran dengan panjang jari-jari 5 cm.
Jawab:
r = 5 cm,
maka K = × 2 × r = 3,14 × 2 × 5 cm = 6,28 × 5 cm = 12,56 cm
Jadi, keliling lingkaran dengan jari-jari 5 cm adalah 12,56 cm.
b. Luas Lingkaran
luas lingkaran adalah luas daerah yang dibatasi oleh lingkaran tersebut. Luas lingkaran dapat dihitung jika diketahui panjang diameter atau jari-jarinya. Akan tetapi, bagaimana
caranya? Perhatikanlah gambar berikut ini.
a. Sebuah lingkaran dibagi menjadi beberapa bagian. Pada gambar ini tampak bahwa lingkaran dibagi menjadi 16 bagian.
b. Bagian-bagian lingkaran disusun menyerupai persegi panjang dengan lebar sama dengan jari-jari lingkaran, yaitu r. Adapun panjangnya adalah setengah dari keliling lingkaran atau K. dari gambar tersebut, diperoleh bahwa luas lingkaran mendekati luas persegi panjang dengan panjang K dan lebar r.
Luas lingkaran = luas persegi panjang ABCD
= p × l
= K × r
= × ( π × 2 × r) × r
= × 2 × π × r × r = π × r2
Jadi, luas lingkaran adalah L = π × r2
Contoh 1
Hitunglah luas lingkaran dengan panjang jari-jari 7 cm.
Jawab:
r = 7 cm
L = π × r2 = x 7cm x 7cm
= 22 × 7 cm2 = 154 cm2
Jadi, luas lingkaran adalah 154 cm2
Contoh 2
Hitunglah luas bangun datar ABCD berikut.
Jawab:
d = 12 cm sehingga r = d
2
12
2
= 6 cm
Luas ABCD = luas
1
2 lingkaran + luas persegi panjang
=
1
2 × ( π × r2) + (p × )
=
1
2 × (3,14 × 6 cm × 6 cm) + (12 cm × 9 cm)
=
1
2 × (113,04 cm2) + 108 cm2
= 56,52 cm2 + 108 cm2
= 164,52 cm2
Jadi, luas bangun tersebut adalah 164,52 cm2.
B. Bangun Ruang
Di Kelas V, kamu telah mempelajari sifat-sifat bangun ruang. Kamu juga
telah mengenal jaring-jaring bangun ruang, seperti balok, kubus, prisma tegak
segitiga, tabung, dan bola. Pada subbab ini, kamu akan mempelajari cara
menghitung volume prisma tegak segitiga dan volume tabung.
1. Menghitung Volume Prisma Tegak Segitiga
Perhatikan bangun prisma tegak berikut ini.
Bangun-bangun tersebut dinamakan prisma tegak. Nama bangun prisma tegak
ditentukan oleh bentuk alasnya. Jika alasnya berbentuk segitiga maka disebut prisma
tegak segitiga. Jika alas segiempat maka dinamakan prisma tegak segiempat, dan
seterusnya. Pada gambar (b), prisma tegak segiempat dinamakan juga balok. Kamu
telah mengetahui bahwa volume balok adalah
V = luas alas × tinggi = p × × t
Bagaimana dengan volume prisma tegak segitiga? Bagaimanakah cara
menghitung volume prisma tegak segitiga?
Agar kamu dapat menjawabnya, perhatikan peragaan berikut.
• Gambar (a) memperlihatkan balok ABCDEFGH dengan ukuran p; ; t dibelah
menurut bidang BFHD.
• Hasil belahan tersebut berupa dua prisma tegak segitiga yang sama dan
sebangun. Alas kedua prisma tersebut berbentuk segitiga.
Volume prisma segitiga ABDEFH dan BCDFGH sama, yaitu masing-masing
setengah dari volume balok. Oleh karena itu,
Volume prisma ABDEFH = × volume balok ABCDEFGH
= × (p × l × t)
= ( × p × l ) × t = luas alas × tinggi
luas alas yang berbentuk segitiga
Jadi, volume prisma tegak segitiga adalah
V = L × t
Rumus tersebut berlaku juga untuk setiap prisma lainnya. Volume prisma tegak
adalah V = L × t
2. Menghitung Volume Tabung
Sekarang, kamu akan mempelajari cara menghitung volume tabung.
Gambar (a) adalah prisma segiempat beraturan (alasnya persegi), prisma
ini disebut juga balok. Gambar (b) adalah prisma segilima beraturan. Adapun
gambar (c) adalah prisma segienam beraturan. Jika pada alas prisma, dibentuk
segi beraturan secara terus menerus, misalnya segidelapan, segienambelas,
segitigapuluhdua, dan seterusnya maka alasnya akan menyerupai lingkaran
seperti gambar (d) dan bangun ini dinamakan tabung.
Dengan demikian, volume tabung dapat dipandang sebagai volume prisma.
Volume tabung = luas alas × tinggi
= L × t
= π r2 × t
dengan L = luas alas prisma berbentuk lingkaran, r = jari-jari tabung, dan t = tinggi
tabung.
Contoh 1
Hitunglah volume tabung disamping !
Jawab:
V = π r2 × t
= × 7 cm × 7 cm × 10 cm
= × 49 cm2 × 10 cm
=22 x 7 cm2 x 10 cm
= 1.540 cm3 Jadi, volume tabung tersebut adalah 1.540 cm3.
Bab 4
Pengumpulan dan
Penyajian Data
A. Mengumpulkan dan Menyajikan Data
Kiki ingin mengetahui jenis buah-buahan yang disukai teman-temannya.
Untuk itu, Kiki bertanya kepada setiap temannya mengenai buah-buahan yang
mereka sukai.
Dari 15 orang temannya, Kiki memperoleh data sebagai berikut.
• 4 orang menyukai jeruk.
• 5 orang menyukai apel.
• 3 orang menyukai mangga.
• 3 orang menyukai rambutan.
Dalam hal ini, Kiki telah mengumpulkan data mengenai jenis buah-buahan
yang disukai teman-temannya. Pengumpulan data dapat dilakukan dengan cara
pencatatan langsung maupun dengan cara mengisi lembar isian.
1. Mengumpulkan Data dengan Cara Pencatatan Langsung
Siswa Kelas VI yang berjumlah 30 orang telah selesai melaksanakan ulangan
Matematika. Kemudian, ibu guru memeriksanya dan mencatat hasil ulangan
Matematika setiap siswa sebagai berikut.
6, 6, 7, 7, 8, 5, 9, 7, 6, 7
8, 8, 8, 6, 5, 6, 6, 7, 9, 6
7, 7, 8, 8, 7, 8, 9, 9, 7, 5
Ibu guru ingin mengelompokkan nilai yang diperoleh setiap siswa tersebut.
Ada berapa orang yang mendapat nilai 7? Ada berapa orang yang mendapat nilai 8?
dan seterusnya.
Agar lebih mudah dalam mengelompokkan data, Ibu guru membuat tabel
berikut ini.
Tabel 4.1 Pengumpulan Data Ulangan Matematika
Agar lebih mudah dan tidak ada data yang terlewat, ibu guru menggunakan
turus seperti berikut.
Tabel 4.2 Pengumpulan Data Ulangan Matematika Menggunakan Turus
2. Mengumpulkan Data dengan Cara Mengisi Lembar Isian
Siswa Kelas VI akan mengadakan pemilihan ketua kelas. Dari 40 siswa,
telah terpilih calon-calon yang akan menjadi ketua kelas, di antaranya Andi, Ika,
Santi, dan Rudi. Kemudian, beberapa orang siswa membuat lembar isian untuk
dibagikan dan diisi oleh setiap siswa. Lembar isian itu tampak seperti berikut.
A. Bilangan Bulat
1. Menggunakan Sifat-Sifat Pengerjaan Hitung
1. Sifat Komutatif
Seperti yang telah kamu ketahui, sifat komutatif disebut juga sifat pertukaran. Untuk lebih jelasnya, perhatikan penjumlahan berikut.
2 + 4 = 6
4 + 2 = 6
Jadi, 2 + 4 = 4 + 2.
Sifat seperti ini dinamakan sifat komutatif pada penjumlahan.
Sekarang, coba perhatikan perkalian berikut.
2 × 4 = 8
4 × 2 = 8
Jadi, 2 × 4 = 4 × 2.
Sifat seperti ini dinamakan sifat komutatif pada perkalian.
Apakah sifat komutatif berlaku pada pengurangan dan pembagian?
Perhatikan contoh berikut.
a. 2 – 4 = –2 dan 4 – 2 = 2
Jadi, 2 – 4 tidak sama dengan 4 – 2, atau 2 – 4 ≠ 4 – 2.
b. 2 : 4 = 0,5 dan 4 : 2 = 2
Diperoleh bahwa 2 : 4 tidak sama dengan 4 : 2, atau 2 : 4 ≠ 4 : 2
Jadi, pada pengurangan dan pembagian tidak berlaku sifat komutatif.
2. Sifat Asosiatif
Pada penjumlahan dan perkalian tiga bilangan bulat berlaku sifat asosiatif
atau disebut juga sifat pengelompokan. Perhatikanlah contoh penjumlahan tiga
bilangan berikut.
(2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9
2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9
Jadi, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4).
Sifat seperti ini dinamakan sifat asosiatif pada penjumlahan.
Sekarang, coba perhatikan contoh perkalian berikut.
(2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24
2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24
Jadi, (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4).
Sifat ini disebut sifat asosiatif pada perkalian.
3. Sifat Distributif
Selain sifat komutatif dan sifat asosiatif, terdapat pula sifat distributif.
Sifat distributif disebut juga sifat penyebaran. Untuk lebih memahaminya,
perhatikanlah contoh berikut.
Contoh 1
Apakah 3 × (4 + 5) = (3 × 4) + (3 × 5)?
Jawab:
3 × (4 + 5) = 3 × 9 = 27
(3 × 4) + (3 × 5) = 12 + 15 = 27
Jadi, 3 × (4 + 5) = (3 × 4) + (3 × 5).
Dari beberapa coontoh diatas dapat kita tarik simpulan :
Sifat-sifat pengerjaan hitung bilangan.
a. Pada penjumlahan berlaku:
1) Sifat pertukaran (komutatif) a + b = b + a
2) Sifat pengelompokan (asosiatif) (a + b) + c = a + (b + c)
b. Pada perkalian berlaku:
1) Sifat pertukaran (komutatif) a × b = b × a
2) Sifat pengelompokan (asosiatif) (a × b) × c = a × (b × c)
3) Sifat penyebaran (distributif)
a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
a × (b – c) = (a × b) – (a × c)
4. Menggunakan Sifat-Sifat Operasi Hitung
Sifat distributif dapat kamu gunakan pada perkalian dua bilangan. Pada perkalian tersebut, salah satu bilangannya merupakan bilangan yang cukup besar.Agar kamu lebih memahaminya, coba pelajari contoh-contoh berikut.
Contoh 1
a. 8 × 123 = ...
b. 6 × 98 = ...
Jawab:
a. 8 × 123 = 8 × (100 + 20 + 3)
= (8 × 100) + (8 × 20) + (8 × 3)
= 800 + 160 + 24 = 984
Jadi, 8 × 123 = 984.
2. Urutan pengerjaan hitung campuran sebagai berikut.
a. Pengerjaan dalam kurung.
b. Perkalian dan pembagian dikerjakan urut dari kiri.
c. Penjumlahan dan pengurangan dikerjakan urut dari kiri.
1. Menentukan FPB dan KPK
Langkah-langkah pengerjaan FPB.
1. Menentukan faktorisasi prima dari bilangan-bilangan itu.
2. Mengambil faktor yang sama dari bilangan-bilangan itu.
3. Jika faktor yang sama pangkatnya berbeda, ambillah faktor yang pangkatnya terkecil
Contoh :
Tentukan FPB dari 15, 25, dan 60.
Jawab:
Faktorisasi prima dari 15 adalah 15 = 3 × 5.
Faktorisasi prima dari 25 adalah 25 = 5 × 5.
Faktorisasi prima dari 60 adalah 60 = 2 × 2 ×3 × 5 = 22 × 3 × 5.
Jadi, FPB dari 15, 25, dan 60 adalah 5.
Langkah-langkah menentukan KPK.
1. Tentukan faktorisasi prima dari bilangan-bilangan tersebut.
2. Ambil semua faktor yang sama atau tidak sama dari bilangan-bilangan tersebut.
3. Jika faktor yang sama memiliki pangkat berbeda, ambillah faktor yang pangkatnya terbesar.
Contoh
Tentukanlah KPK dari 8, 16, dan 40.
Jawab:
Faktorisasi prima dari 8 = 2 × 2 × 2 = 23.
Faktorisasi prima dari 16 = 2 × 2 × 2 × 2 = 24.
Faktorisasi prima dari 40 = 2 × 2 × 2 × 5 = 23 × 5.
KPK dari 8, 16, dan 40 adalah 24 × 5 = 16 × 5 = 80.
Jadi, KPK dari 8, 16, dan 40 adalah 80.
C. Perpangkatan dan Penarikan Akar Pangkat Tiga
1. Perpangkatan Tiga
Di Kelas V, kamu telah mengenal bilangan berpangkat dua. Jika suatu bilangan
dikalikan dengan dirinya sendiri,dikatakan bahwa bilangan tersebut dikuadratkan.
Misalnya, 5 × 5 = 25, dapat ditulis 52 = 25. Artinya, kuadrat dari 5 adalah 25. Adapun 25 disebut bilangan kuadrat.
Dengan cara yang sama, kamu dapat memahami perpangkatan tiga dari suatu bilangan. Misalnya, 5 × 5 × 5 = 125, dapat ditulis 53 =125.
Satuan Volume dan
Debit
A. Satuan Volume
1. Hubungan Antar Satuan Volume
Sebelum mempelajari debit, terlebih dahulu kamu akan mempelajari hubungan antar satuan volume. Ingatlah kembali cara menentukan volume kubus dan balok.
Perhatikan kubus-kubus berikut.
Volume kubus dengan panjang rusuk 1 cm adalah
V = 1 cm × 1 cm × 1 cm = (1 × 1 × 1) cm3 = 1 cm3.
Volume kubus dengan panjang rusuk 10 mm adalah
V = 10 mm × 10 mm × 10 mm = (10 × 10 × 10) mm3 = 1.000 mm3.
Jadi, 1 cm3 = 1.000 mm3 karena 1 cm = 10 mm dengan demikian kita dapat mengetahui bahwa 1 dm3 = 1.000 cm3 karena 1 dm = 10 cm
Perhatikan gambar hubungan antar satuan kubik berikut
Setiap naik satu tangga,
satuan besaran dibagi 1.000
1 km3 = 1.000 hm3 (turun 1 tangga) ; 1 m3 = 1.000.000 cm3 (turun 2 tangga)
1 m3 = (naik 1 tangga) ; 1 m3 = 1 (naik 2 tangga)
Contoh
a. 2 m3 = ... dm3 ; b. 6.000 cm3 = ... dm3
Jawab:
a. 2 m3 = (2 × 1) m3 = (2 × 1.000) dm3 = 2.000 dm3
b. 6.000 cm3 = (6.000 × 1) cm3 = (6.000 : 1.000) dm3= 6 dm3
2. Satuan Liter dan Mililiter
Dalam kehidupan sehari-hari satuan volume yang sering digunakan adalah
liter (l) dan mililiter (ml). Misalnya, volume minuman ringan ini adalah 1 liter.
Contoh
Bak mandi di rumah Bu Marta panjangnya 1,5 m, lebar 1 m, dan tinggi 1 m.
Jika bak mandi tersebut terisi penuh air, berapa liter volume airnya?
Jawab:
Kita cari dahulu volume bak mandi tersebut.
Volume = panjang × lebar × tinggi
= 1,5 m × 1 m × 1 m
= 1,5 m3
Kemudian, kita hitung volume airnya.
1,5 m3= (1,5 × 1) m3
= (1,5 × 1.000) d m3
= 1.500 d m3
= 1.500 l
B. Satuan Debit
1. Arti Satuan Debit
Ira akan mengisi sebuah ember dengan air dari keran. Dalam waktu 1 menit,
ember tersebut terisi 6 liter air. Artinya, debit air yang mengalir dari keran itu
adalah 6 liter/menit, ditulis 6 l/menit.
Satuan debit biasanya digunakan untuk menentukan volume air yang mengalir
dalam suatu satuan waktu.
Contoh:
1. Sebuah kolam diisi air dengan menggunakan pipa yang debitnya 1 l/detik.
Artinya, dalam waktu 1 detik volume air yang mengalir dari pipa tersebut
adalah 1 liter.
2. Debit air yang mengalir pada pintu air Manggarai adalah 500 m3/detik. Artinya,
dalam waktu 1 detik volume air yang mengalir melalui pintu air Manggarai
adalah 500 m3.
2. Hubungan Antar Satuan Debit
Kamu telah mengetahui bahwa 1 l = 1 dm3 = m3. Oleh karena itu,1 l/detik = m3/detik
cara mengubah satuan debit m3/detik menjadil/detik yaitu dengan mengalikan kedua ruas pada persamaan tersebut dengan 1.000.
1 l/detik × 1.000 = m3/detik × 1.000
1.000 l/detik = m3/detik
1.000 l/detik = 1 m3/detik atau 1 m3/detik = 1.000 l/detik
Contoh 1
a. 4 m3/detik = ... l/detik
b. 6.000 l/detik = ... m3/detik
Jawab:
a. 4 m3/detik = (4 × 1) m3/detik = (4 × 1.000) l/detik = 4.000 l/detik
b. 6.000 l/detik = (6.000 × 1) l/detik = (6.000 : 1.000) m3/detik = 6 m3/detik
Contoh 2
6 l/menit = ... l/detik
Jawab:
6 l/menit = = = =0,1 liter/ detik
Jadi, 6 l/menit = 0,1 l/detik.
3. Menyelesaikan Soal Cerita
Sebuah bak mandi berbentuk kotak memiliki ukuran panjang 120 cm, lebar 50
cm, dan tinggi 80 cm. Bak mandi tersebut diisi dengan air dari sebuah keran. Jika
setelah 20 menit bak mandi tersebut penuh, berapa l/detik debit air yang mengalir
dari keran tersebut?
Jawab:
Diketahui:
Bak mandi berbentuk kotak dengan panjang p = 120 cm, lebar = 50 cm, dan
tinggi t = 80 cm.
Bak mandi terisi penuh air setelah 20 menit.
Ditanyakan: Berapa debit air yang mengalir dari keran?
Penyelesaian:
Agar lebih mudah, kita ubah terlebih dahulu satuan cm ke dm.
p = 120 cm = 12 dm,
= 50 cm = 5 dm,
t = 80 cm = 8 dm.
Volume bak mandi = p × l × t
= 12 dm × 5 dm × 8 dm
= (12 × 5 × 8) dm3
= 480 dm3
= 480 l.
Debit air = Volume yang diperoleh
Waktu yang diperlukan
=
= 24 l/menit
=
=
= /detik = 0,4 l/detik
Jadi, debit air yang mengalir dari keran adalah 0,4 l/detik.
Bangun Datar dan
Bangun Ruang
A. Luas Bangun Datar
Jawab:
a. Luas persegi ABCD = s × s
= 5 cm × 5 cm
= 25 cm2
Jadi, luas persegi ABCD adalah 25 cm2.
b. Luas persegipanjang EFGH = p ×l
= 10 cm × 5 cm
= 50 cm2
Jadi, luas persegipanjang EFGH adalah 50 cm2.
c. Luas segitiga KLM = × (a × t)
= × (12 cm × 6 cm)
= × 72 cm2
= 36 cm2
Jadi, luas segitiga KLM adalah 36 cm2.
Hitunglah luas jajargenjang dan trapesium berikut.
Jawab:
a. Luas jajargenjang ABCD = a × t
= 8 cm × 7 cm
= 56 cm
Jadi, luas jajargenjang ABCD adalah 56 cm2.
b. Luas trapesium EFGH = × (a + b) × t
= × (16 cm + 6 cm) × 7 cm
= × (22 cm) × 7 cm
= × 154 cm = 77 cm2
Jadi, luas trapesium EFGH adalah 77 cm2.
2. Menghitung Luas Segi Banyak
Langkah-langkah untuk menghitung luas segi banyak adalah sebagai berikut.
1. Tentukan bangun datar apa saja yang membentuknya.
2. Tentukan luas dari setiap bangun datar yang membentuknya.
3. Jumlahkan luas dari keseluruhan bangun datar yang membentuknya.
Contoh : Tentukan luas segi banyak dibawah ini !
Berdasarkan langkah-langkah tersebut, maka
• Luas bangun (a) = luas persegipanjang ABCG + luas persegi DEFG
= (10 cm × 4 cm) + (3 cm × 3 cm)
= 40 cm2 + 9 cm2
= 49 cm2
• Luas bangun (b) = luas persegipanjang PQST + luas segitiga QRS
= (12 cm × 8 cm) + ( × 8 cm × 3 cm)
= 96 cm2 + 12 cm2
= 108 cm2
Tentukan luas segi banyak diatas !
Jawab:
Luas ABCD = 15 cm × 9 cm
= 135 cm2
Luas ECGF = × (20 cm + 16 cm) × 10 cm
= × (36 cm) × 10 cm
= × 360 cm2
= 180 cm2
Luas ABCGFED = luas ABCD + luas ECGF
= 135 cm2 + 180 cm2
= 315 cm2
Jadi, luas ABCGFED atau luas keseluruhan bangun datar tersebut adalah 315 cm2.
3. Menghitung Luas Lingkaran
Pada bagian ini, akan dibahas mengenai bagaimana cara menghitung luas daerah yang dibatasi oleh lingkaran. Yang dimaksud dengan lingkaran di sini adalah garis lengkung yang titik-titiknya berjarak tetap terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu ini dinamakan titik pusat lingkaran. Namun sebelumnya, akan diperkenalkan tentang jari-jari dan diameter lingkaran serta bagaimana menghitung keliling lingkaran.
a. Jari-jari dan Diameter Lingkaran
Perhatikanlah gambar lingkaran dengan titik pusat O berikut.
C
A O B
Diameter lingkaran sama dengan dua kali jari-jari. Dengan demikian d = 2 × r
Contoh
Sebuah lingkaran memiliki jari-jari 6 cm. Berapa cm panjang diameternya?
Jawab:
r = 6 cm
Panjang diameter lingkaran adalah
d = 2 × r = 2 × 6 cm = 12 cm
Jadi, panjang diameter lingkaran tersebut adalah 12 cm.
b. Keliling Lingkaran
Sebuah taman berbentuk lingkaran memiliki diameter 5 meter. Ali berlari mengelilingi taman itu satu kali putaran. Berapa meter jarak yang telah ditempuh Ali?Jarak yang ditempuh Ali sama dengan keliling taman yang berbentuk lingkaran tersebut. Dapatkah kamu mencari keliling lingkaran jika diketahui diameternya?Agar kamu dapat menjawabnya, lakukanlah kegiatan berikut
1. Bentuklah kelompok yang terdiri dari 4 sampai dengan 5 orang.
2. Sediakan benda-benda yang berbentuk lingkaran. Misalnya, uang logam, tutup gelas, dan kaleng susu yang alasnya berbentuk lingkaran.
3. Ukurlah garis tengah dari uang logam yang berbentuk lingkaran seperti gambar berikut. Kemudian, tulislah garis tengahnya (diameternya), d = ... cm.
4. Lingkarkan benang sepanjang keliling uang logam tersebut. Kemudian, bentangkan benang itu dan ukurlah panjangnya. Panjang benang tersebut sama dengan keliling lingkaran, K = ... cm.
5. Bagilah keliling lingkaran (K) dengan diameternya (d).
Keliling lingkara a n
Diameter lingkara a n
...
...
...
6. Ukurlah diameter dan keliling dari benda-benda berbentuk lainnya. Kemudian,
buatlah tabelnya seperti tabel berikut.
Dari kegiatan tersebut, kamu akan mendapatkan bahwa perbandingan keliling (K) dan diameter lingkaran (d) mendekati bilangan 3,14 atau Selanjutnya, bilangan ini dinamakan π , dibaca pi .
dengan demikian, diperoleh
K= x d = 3,14 x d atau K= x d = x d
Oleh karena panjang diameter sama dengan 2 kali panjang jari-jari, keliling lingkaran dapat juga dirumuskan sebagai berikut.
K = π × d = π × 2 × r = 3,14 × 2 × r atau K = × 2 × r
Contoh 1
Hitunglah keliling lingkaran berikut.
Jawab: d = 14 cm, maka K = π × d = x 14 cm = 44 cm
Jadi, keliling lingkaran dengan diameter 14 cm adalah 44 cm.
Hitunglah keliling lingkaran dengan panjang jari-jari 5 cm.
Jawab:
r = 5 cm,
maka K = × 2 × r = 3,14 × 2 × 5 cm = 6,28 × 5 cm = 12,56 cm
Jadi, keliling lingkaran dengan jari-jari 5 cm adalah 12,56 cm.
b. Luas Lingkaran
luas lingkaran adalah luas daerah yang dibatasi oleh lingkaran tersebut. Luas lingkaran dapat dihitung jika diketahui panjang diameter atau jari-jarinya. Akan tetapi, bagaimana
caranya? Perhatikanlah gambar berikut ini.
a. Sebuah lingkaran dibagi menjadi beberapa bagian. Pada gambar ini tampak bahwa lingkaran dibagi menjadi 16 bagian.
b. Bagian-bagian lingkaran disusun menyerupai persegi panjang dengan lebar sama dengan jari-jari lingkaran, yaitu r. Adapun panjangnya adalah setengah dari keliling lingkaran atau K. dari gambar tersebut, diperoleh bahwa luas lingkaran mendekati luas persegi panjang dengan panjang K dan lebar r.
Luas lingkaran = luas persegi panjang ABCD
= p × l
= K × r
= × ( π × 2 × r) × r
= × 2 × π × r × r = π × r2
Jadi, luas lingkaran adalah L = π × r2
Contoh 1
Hitunglah luas lingkaran dengan panjang jari-jari 7 cm.
Jawab:
r = 7 cm
L = π × r2 = x 7cm x 7cm
= 22 × 7 cm2 = 154 cm2
Jadi, luas lingkaran adalah 154 cm2
Contoh 2
Hitunglah luas bangun datar ABCD berikut.
Jawab:
d = 12 cm sehingga r = d
2
12
2
= 6 cm
Luas ABCD = luas
1
2 lingkaran + luas persegi panjang
=
1
2 × ( π × r2) + (p × )
=
1
2 × (3,14 × 6 cm × 6 cm) + (12 cm × 9 cm)
=
1
2 × (113,04 cm2) + 108 cm2
= 56,52 cm2 + 108 cm2
= 164,52 cm2
Jadi, luas bangun tersebut adalah 164,52 cm2.
B. Bangun Ruang
Di Kelas V, kamu telah mempelajari sifat-sifat bangun ruang. Kamu juga
telah mengenal jaring-jaring bangun ruang, seperti balok, kubus, prisma tegak
segitiga, tabung, dan bola. Pada subbab ini, kamu akan mempelajari cara
menghitung volume prisma tegak segitiga dan volume tabung.
1. Menghitung Volume Prisma Tegak Segitiga
Perhatikan bangun prisma tegak berikut ini.
Bangun-bangun tersebut dinamakan prisma tegak. Nama bangun prisma tegak
ditentukan oleh bentuk alasnya. Jika alasnya berbentuk segitiga maka disebut prisma
tegak segitiga. Jika alas segiempat maka dinamakan prisma tegak segiempat, dan
seterusnya. Pada gambar (b), prisma tegak segiempat dinamakan juga balok. Kamu
telah mengetahui bahwa volume balok adalah
V = luas alas × tinggi = p × × t
Bagaimana dengan volume prisma tegak segitiga? Bagaimanakah cara
menghitung volume prisma tegak segitiga?
Agar kamu dapat menjawabnya, perhatikan peragaan berikut.
• Gambar (a) memperlihatkan balok ABCDEFGH dengan ukuran p; ; t dibelah
menurut bidang BFHD.
• Hasil belahan tersebut berupa dua prisma tegak segitiga yang sama dan
sebangun. Alas kedua prisma tersebut berbentuk segitiga.
Volume prisma segitiga ABDEFH dan BCDFGH sama, yaitu masing-masing
setengah dari volume balok. Oleh karena itu,
Volume prisma ABDEFH = × volume balok ABCDEFGH
= × (p × l × t)
= ( × p × l ) × t = luas alas × tinggi
luas alas yang berbentuk segitiga
Jadi, volume prisma tegak segitiga adalah
V = L × t
Rumus tersebut berlaku juga untuk setiap prisma lainnya. Volume prisma tegak
adalah V = L × t
2. Menghitung Volume Tabung
Sekarang, kamu akan mempelajari cara menghitung volume tabung.
Gambar (a) adalah prisma segiempat beraturan (alasnya persegi), prisma
ini disebut juga balok. Gambar (b) adalah prisma segilima beraturan. Adapun
gambar (c) adalah prisma segienam beraturan. Jika pada alas prisma, dibentuk
segi beraturan secara terus menerus, misalnya segidelapan, segienambelas,
segitigapuluhdua, dan seterusnya maka alasnya akan menyerupai lingkaran
seperti gambar (d) dan bangun ini dinamakan tabung.
Dengan demikian, volume tabung dapat dipandang sebagai volume prisma.
Volume tabung = luas alas × tinggi
= L × t
= π r2 × t
dengan L = luas alas prisma berbentuk lingkaran, r = jari-jari tabung, dan t = tinggi
tabung.
Contoh 1
Hitunglah volume tabung disamping !
Jawab:
V = π r2 × t
= × 7 cm × 7 cm × 10 cm
= × 49 cm2 × 10 cm
=22 x 7 cm2 x 10 cm
= 1.540 cm3 Jadi, volume tabung tersebut adalah 1.540 cm3.
Bab 4
Pengumpulan dan
Penyajian Data
A. Mengumpulkan dan Menyajikan Data
Kiki ingin mengetahui jenis buah-buahan yang disukai teman-temannya.
Untuk itu, Kiki bertanya kepada setiap temannya mengenai buah-buahan yang
mereka sukai.
Dari 15 orang temannya, Kiki memperoleh data sebagai berikut.
• 4 orang menyukai jeruk.
• 5 orang menyukai apel.
• 3 orang menyukai mangga.
• 3 orang menyukai rambutan.
Dalam hal ini, Kiki telah mengumpulkan data mengenai jenis buah-buahan
yang disukai teman-temannya. Pengumpulan data dapat dilakukan dengan cara
pencatatan langsung maupun dengan cara mengisi lembar isian.
1. Mengumpulkan Data dengan Cara Pencatatan Langsung
Siswa Kelas VI yang berjumlah 30 orang telah selesai melaksanakan ulangan
Matematika. Kemudian, ibu guru memeriksanya dan mencatat hasil ulangan
Matematika setiap siswa sebagai berikut.
6, 6, 7, 7, 8, 5, 9, 7, 6, 7
8, 8, 8, 6, 5, 6, 6, 7, 9, 6
7, 7, 8, 8, 7, 8, 9, 9, 7, 5
Ibu guru ingin mengelompokkan nilai yang diperoleh setiap siswa tersebut.
Ada berapa orang yang mendapat nilai 7? Ada berapa orang yang mendapat nilai 8?
dan seterusnya.
Agar lebih mudah dalam mengelompokkan data, Ibu guru membuat tabel
berikut ini.
Tabel 4.1 Pengumpulan Data Ulangan Matematika
Agar lebih mudah dan tidak ada data yang terlewat, ibu guru menggunakan
turus seperti berikut.
Tabel 4.2 Pengumpulan Data Ulangan Matematika Menggunakan Turus
2. Mengumpulkan Data dengan Cara Mengisi Lembar Isian
Siswa Kelas VI akan mengadakan pemilihan ketua kelas. Dari 40 siswa,
telah terpilih calon-calon yang akan menjadi ketua kelas, di antaranya Andi, Ika,
Santi, dan Rudi. Kemudian, beberapa orang siswa membuat lembar isian untuk
dibagikan dan diisi oleh setiap siswa. Lembar isian itu tampak seperti berikut.
